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GFS im Fach Mathematik




Der Grenzwert einer Funktion





von Ilya Gufan, 4G5







Selbstverlag 2006

Heilbronn

Inhaltsverzeichnis


Verlauf der Arbeit 3

Einführung 4

Definition des Grenzwertes 5

Schreibweise 6

Beispiele 6

Eindeutigkeit des Grenzwertes 6

Einseitige Grenzwerte 7

Undendliche Grenzwere 8

Wichtige Regeln für Grenzwertberechnung 9

Bedeutende Grenzwerte 9

Quellennachweis 10


Verlauf der Arbeit


  • 2.11.2006, von 12:00 bis 20:00

Suche nach dem Material, Erarbeitung des Projekts, Fertigung des Entwurfs.

  • 26.11.2006, von 12:00 bis 14:00

Endkorrektur.



Hilfsmittel: PC mit Internetanschluss.

Programme: MS Word, Math Type 5.2c, MS Paint, Opera, Advanced Grapher 2.11.

Die Hauptquelle dieser Arbeit war die Seite www.college.ru, aus der die Darstellungsweise stammt.


Limes einer Funktion



Einführung



Das Wort Limes[1] stammt aus dem Lateinischen und bedeuten Grenzwall. Es gibt von Römern gebauten Limen auch in Württemberg.


Der Ausdruck Limes (Grenzwert) bezeichnet in der Mathematik

  • den Grenzwert einer Folge;
  • den Grenzwert bzw. die Summe einer unendlichen Reihe;
  • den Grenzwert eines Netzes in Topologie;
  • einen Begriff aus der Kategorientheorie;
  • den Grenzwert einer Funktion. Das ist das Thema meiner Arbeit.

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert von Augustin Louis Cauchy und Heinrich Eduard Heine formalisiert und ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Auf diesem Begriff basiert sich die ganze Integral- und Differenzialrechnung. Mithilfe von Limen definiert man die Stetigkeit der Funktion.[2] Der Grenzwert lasst uns mit unbegrenzt großen und kleinen Werten arbeiten und solche Unbestimmtheiten wie und mithilfe von Regel von L'Hospital lösen.



Definition des Grenzwertes


Definition nach Cauchy.

Die Zahl L bezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle a, wenn

  • diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss

und

  • für jedes ε > 0 gibt es so ein δ > 0, dass für alle x, die der Voraussetzungen |x a| < δ und x ≠ a entsprechen, gilt:

|f (x) L| < ε.


Formelle Schreibweise:

Wir können es auch mit den Umgebungen beschreiben:

mit ist der Stelle a.


Erklärung:

Bei dem Herannahen des Arguments zu a kann die Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Limes L beliebig klein sein. Hier sprechen wir immer von dem Betrag der jeweiligen Werte, weil das Argument von beiden Seiten zum a Herannahen kann.


Definition nach Heine.


Die Zahl L bezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle, wenn:

  • diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss

und

für jede solche Reihenfolge {xn}, dass , die zu a konvergiert, die entsprechende Reihenfolge der Funktionswerte {f(xn)} zu L konvergiert.

Die Definition nach Heine finde ich nicht so geschickt, weil der Begriff Konvergieren definiert werden muss. Also bezieht man sich auf Folgenlehre.


Anmerkung 1. Man spricht von Limes an der Stelle a auch dann, wenn die Funktion an der Stelle a definiert ist.

Anmerkung 2. Die Definitionen nach A. L. Cauchy und H. E. Heine sind äquivalent. D. h., ein Grenzwert nach Cauchy ist immer ein Grenzwert nach Heine und umgekehrt.


Schreibweise

 

Wenn L Limes (Grenzwert) der Funktion f(x) an der Stelle a ist, so schreibt man:

Man liest: Der Grenzwert (Limes) der Funktion f von x bei x gegen a ist gleich L.


Beispiele

 

Bild 1.

Bild 2.

Eindeutigkeit des Grenzwertes.


Hat eine Funktion f(x) einen Grenzwert L an der Stelle a, so ist er der einzige Grenzwert an der Stelle a.

So hat die Funktion sgn x keinen Grenzwert an der Stelle 0.

Hier kann man aber von einem Grenzwert links bzw. rechts sprechen.

Bild 3. Signum von x.

Einseitige Grenzwerte

Definition.[3]

Die Zahl L bezeichnet man als Limes (Grenzwert) der Funktion f(x) an der Stelle a, wenn es für jedes ε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für alle gilt.

Schreibweise.

Grenzwert links: ;

Grenzwert rechts:.

Ist a=0, so lässt man oft die erste 0 weg:

;

.

Diese Grenzwerte werden oft als einseitige Grenzwerte bezeichnet.

Manchmal lässt man die Null weg:

;

.


Im deutschspachigen Raum bezeichnet man die einseitigen Grenzwerte oft mit Indizien l für links und r für rechts.[4]

Grenzwert links: ;

Grenzwert rechts:.


Für die Signumfunktion gilt: ; .


Unendliche Grenzwerte

 

Wenn für jeden ε > 0 so eine δ-Umgebung der Stelle a gibt, dass für alle x | (|x a| < δ, xa) gilt: |f (x)| > ε, so spricht man von einem unendlichen Grenzwert an der Stelle a.

Manche Autoren lehnen solche Bezeichnung ab, weil keine Zahl ist. Richtig sei es, so zu schreiben[5]: .

Man unterscheidet hier auch zwischen und .



Wenn für jeden ε > 0 so ein δ > 0, dass für jedes x > δ die Ungleichung |f (x) L| < ε gilt, so sagt man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegen plus unendlich gleich L ist.

Wenn für jeden ε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für jedes x > δ f (x) > ε gilt, so sagt man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegen plus unendlich gleich plus unendlich ist (oder gegen plus unendlich strebt, weil unendlich keine Zahl ist).


Analog formuliert man die Limen für minus unendlich.


Beispiel.


Für die Funktion f(x)= gilt:

; ; ; .


Bild 4.

Wichtige Regeln für Grenzwertberechnung


  • Wenn die Funktionen f(x) und g(x) endliche Grenzwerte an der Stelle A haben und , so gilt:
    1. , wenn und in δ-Umgebung der Stelle a.


  • Regel von L'Hospital[6]


Bedeutende Grenzwerte

 

In der Mathematik haben manche Werte eine besondere Bedeutung.

Das ist in der ersten Reihe die Zahl e. In deutschsprachigem Raum bezeichnet man sie oft als Eulersche Zahl, wobei es nicht ganz richtig ist. Die Zahl wurde von Jakob Bernoulli als Grenzwert beschrieben, wobei Euler den Buchstaben e eingeführt hat.[7]

;


Ein anderer bedeutender Grenzwert ist

Quellennachweis

 

  1. Wikipedia
    1. #"#_ftnref1" name="_ftn1" title="">[1] Quelle 1c

      [2] Quelle 3

      [3] Quelle 5

      [4] Unterricht von Herrn Koch

      [5] Unterricht von Herrn Koch; Quelle 4

      [6] Quelle 1b

      [7] Quelle 1d



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